3. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов. По теореме синусов, для любого треугольника ABC справедливо соотношение:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

где \( R \) — радиус описанной окружности.

1. Найдем угол \( A \) в треугольнике ABC: \( \angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 71^{\circ} - 79^{\circ} = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. У нас есть \( \angle B = 71^{\circ} \), \( \angle C = 79^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \) и \( R = 8 \).
3. Нам нужно найти сторону \( BC \), которая обозначается как \( a \). Используем формулу:

   \( a = 2R \sin A \)

   \( BC = 2 \cdot 8 \cdot \sin 30^{\circ} \)

   Так как \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \), то:

   \( BC = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \)

Ответ: BC = 8.