24. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Привет! Давай посчитаем вероятность этого события.

Условие:

• Бросается монетка, чтобы определить, кто начнет игру.
• Вероятность выигрыша жребия для одной команды (например, «Физика») равна 0.5 (так как есть два равновероятных исхода: орел или решка).
• Команда «Физик» играет 3 матча.

Вопрос: Какова вероятность, что «Физик» выиграет жребий ровно 2 раза из 3?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Формула для расчета вероятности k успехов в n испытаниях:

\[ P_n(k) = C_n^k \times p^k \times q^{n-k} \]

Где:

• n = общее количество испытаний (матчей) = 3
• k = количество успешных исходов (выигранных жребиев) = 2
• p = вероятность успеха в одном испытании (выиграть жребий) = 0.5
• q = вероятность неудачи в одном испытании (проиграть жребий) = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5
• C_n^k = число сочетаний из n по k, которое рассчитывается как \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

1. Рассчитаем число сочетаний C₃²:

\[ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3 \]

Это означает, что есть 3 способа выиграть ровно 2 жребия из 3 (например, ВВЛ, ВЛВ, ЛВВ, где В - выигрыш, Л - проигрыш).

2. Подставим значения в формулу биномиального распределения:

\[ P_3(2) = C_3^2 \times p^2 \times q^{3-2} \]

\[ P_3(2) = 3 \times (0.5)^2 \times (0.5)^1 \]

\[ P_3(2) = 3 \times 0.25 \times 0.5 \]

\[ P_3(2) = 3 \times 0.125 = 0.375 \]

Ответ: 0.375