24. Тип 2 № 2710. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите её объём.

В правильной четырёхугольной пирамиде высота опускается в центр квадратного основания. Расстояние от центра квадрата до его вершины обозначим \(R\). По теореме Пифагора для бокового ребра, высоты и \(R\):

\(R^2+6^2=10^2\), поэтому \(R^2=64\) и \(R=8\).

Для квадрата со стороной \(a\) расстояние от центра до вершины равно половине диагонали: \(R=\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Значит, \(a=R\sqrt{2}=8\sqrt{2}\), а площадь основания \(S_{\text{осн}}=a^2=128\).

Тогда \(V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot128\cdot6=256\).

Ответ: 256.