24. В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём CF = AM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Обозначим \(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{CF}{BC}=t\), а \(\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{DK}{CD}=s\). Это возможно, поскольку в параллелограмме \(AD=BC\) и \(AB=CD\).

Введём векторы \(\vec{AB}=\mathbf b\) и \(\vec{AD}=\mathbf d\), считая точку \(A\) началом отсчёта. Тогда:

\(M=t\mathbf d\), \(F=\mathbf b+(1-t)\mathbf d\), \(E=(1-s)\mathbf b\), \(K=\mathbf d+s\mathbf b\).

Вычислим векторы противоположных сторон четырёхугольника \(EFKM\):

\(\overrightarrow{EF}=F-E=\mathbf b+(1-t)\mathbf d-(1-s)\mathbf b=s\mathbf b+(1-t)\mathbf d\);

\(\overrightarrow{MK}=K-M=\mathbf d+s\mathbf b-t\mathbf d=s\mathbf b+(1-t)\mathbf d\).

Следовательно, \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{MK}\), значит, \(EF\parallel MK\) и \(EF=MK\).

Далее:

\(\overrightarrow{EM}=M-E=t\mathbf d-(1-s)\mathbf b\);

\(\overrightarrow{FK}=K-F=\mathbf d+s\mathbf b-\mathbf b-(1-t)\mathbf d=t\mathbf d-(1-s)\mathbf b\).

Следовательно, \(\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{FK}\), значит, \(EM\parallel FK\).

В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому \(EFKM\) — параллелограмм.

Ответ: доказано, что EFKM — параллелограмм.