25. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 17 и MB = 19. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

По теореме о биссектрисе:

\(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{17}{19}\).

Поскольку \(AM=17\) и \(MB=19\), получаем:

\(AB=17+19=36\).

По теореме о касательной и секущей (или по свойству симмедианы), точка \(D\) делит прямую \(AB\) внешним образом в отношении квадратов прилежащих сторон:

\(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AC^2}{BC^2}=\dfrac{17^2}{19^2}=\dfrac{289}{361}\).

Точка \(D\) лежит за точкой \(A\), поэтому \(BD=AD+AB=AD+36\). Пусть \(AD=x\). Тогда:

\(\dfrac{x}{x+36}=\dfrac{289}{361}\).

\(361x=289x+10404\);

\(72x=10404\);

\(x=144.5=\dfrac{289}{2}\).

Тогда \(BD=144.5+36=180.5=\dfrac{361}{2}\).

По теореме о степени точки:

\(CD^2=AD\cdot BD=\dfrac{289}{2}\cdot\dfrac{361}{2}=\dfrac{323^2}{4}\).

Следовательно:

\(CD=\dfrac{323}{2}=161.5\).

Ответ: 161,5.