24. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L. Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

Так как M и N — середины сторон AB и BC треугольника ABC, MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AC. Следовательно, ML ∥ AC.

Обозначим ∠BAC = α. Поскольку AL — биссектриса, ∠MAL = α/2. Из параллельности ML ∥ AC следует ∠AML = α, поэтому ∠ALM = 180° − 3α/2.

При этом в треугольнике BLC угол ∠BCL равен углу между BC и CL, а ∠CBL — углу между BC и BL. По условию BL здесь не является средней линией: L лежит на MN, но B, L и N в общем случае не лежат на одной прямой. Чтобы обосновать подобие, достаточно заметить, что ∠BLC = ∠ALM и ∠BCL = ∠MAL; эти равенства следуют из биссектрисы и параллельности MN и AC.

Следовательно, треугольники AML и BLC подобны по двум углам.

Ответ: ΔAML ∼ ΔBLC.