24. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, tg A = 2√6/5. Найдите длину стороны AC.

Пусть \(AH\) — высота к основанию \(BC\). В равнобедренном треугольнике \(AC=BC\), поэтому \(BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{AC}{2}\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\):

\(\tan A=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{2\sqrt6}{5}\), а \(AB=10\). Тогда \(AH=\dfrac{5}{\sqrt6}BH\).

По теореме Пифагора: \(AB^2=AH^2+BH^2=\left(\dfrac{25}{6}+1\right)BH^2=\dfrac{31}{6}BH^2\). Отсюда \(BH^2=\dfrac{600}{31}\), поэтому \(AC=2BH=\sqrt{\dfrac{2400}{31}}\).

Ответ: \(\sqrt{\dfrac{2400}{31}}\).