24. В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что треугольники А₁СВ и АСВ₁ подобны.

Давайте докажем подобие треугольников, используя известные свойства высот и углов:

1. Данные: В треугольнике ABC угол ACB — тупой (больше 90 градусов). AA₁ — высота, значит, AA₁ ⊥ CB. BB₁ — высота, значит, BB₁ ⊥ AC.
2. Рассмотрим треугольники A₁CB и ACB₁:
• Угол при вершине C: Угол ACB₁ и угол A₁CB являются общими для обоих треугольников (потому что они включают в себя угол ACB).
• Прямые углы:
• В треугольнике A₁CB, угол AA₁C = 90 градусов (так как AA₁ — высота).
• В треугольнике ACB₁, угол BB₁C = 90 градусов (так как BB₁ — высота).
• Подобие по двум углам: Поскольку два угла треугольника A₁CB равны двум углам треугольника ACB₁ (угол C общий, и углы AA₁C и BB₁C равны 90 градусам), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
3. Вывод: Треугольники A₁CB и ACB₁ подобны.

Доказано.