25.4. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Давай разберем каждое неравенство:

• А) \[ \log_2(x-1) < 1 \]
• Чтобы решить это неравенство, сначала найдем область определения: \(x-1 > 0\), то есть \(x > 1\).
• Теперь решим само неравенство: \(x-1 < 2^1\)
• \[ x-1 < 2 \]
• \[ x < 3 \]
• Объединяя условия \(x > 1\) и \(x < 3\), получаем интервал \((1; 3)\).
• Это соответствует решению 3) (1; 3).
• Б) \[ \frac{x-1}{(x-3)^2} > 0 \]
• Здесь числитель должен быть больше нуля, а знаменатель всегда положителен (кроме \(x=3\)), так как он в квадрате.
• \[ x-1 > 0 \]
• \[ x > 1 \]
• Также нужно учесть, что знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(x \neq 3\).
• Объединяя условия \(x > 1\) и \(x \neq 3\), получаем интервалы \((1; 3) \cup (3; +\infty)\).
• Это соответствует решению 2) (1; 3) \(\cup\) \(3; +\infty\).
• В) \[ 3^{-x} > \frac{1}{3} \]
• Перепишем правую часть как степень тройки: \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\).
• \[ 3^{-x} > 3^{-1} \]
• Так как основание степени (3) больше 1, сравниваем показатели:
• \[ -x > -1 \]
• Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:
• \[ x < 1 \]
• Это соответствует решению 4) (-∞; 1).
• Г) \[ (x-1)(x-3) > 0 \]
• Это квадратичное неравенство. Корни уравнения \((x-1)(x-3) = 0\) равны \(x=1\) и \(x=3\).
• Парабола y = (x-1)(x-3) ветвями вверх, поэтому неравенство больше нуля будет выполняться вне корней.
• \[ x < 1 \quad \text{или} \quad x > 3 \]
• Это соответствует решению 1) (-∞; 1) \(\cup\) (3; +∞).

Ответ: