25.5. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Давай разберем каждое неравенство:

• А) \[ \log_2(x-3) < 1 \]
• Область определения: \(x-3 > 0\), то есть \(x > 3\).
• Решаем неравенство:
• \[ x-3 < 2^1 \]
• \[ x-3 < 2 \]
• \[ x < 5 \]
• Объединяя условия \(x > 3\) и \(x < 5\), получаем интервал \((3; 5)\).
• Это соответствует решению 3) (3; 5).
• Б) \[ 5^{-x+1} < \frac{1}{25} \]
• Перепишем правую часть как степень пятерки: \(\frac{1}{25} = 5^{-2}\).
• \[ 5^{-x+1} < 5^{-2} \]
• Сравниваем показатели степеней:
• \[ -x+1 < -2 \]
• \[ -x < -3 \]
• Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:
• \[ x > 3 \]
• Это соответствует решению 4) (3; +∞).
• В) \[ (x-3)(x-5) > 0 \]
• Корни уравнения \((x-3)(x-5) = 0\) равны \(x=3\) и \(x=5\).
• Парабола y = (x-3)(x-5) ветвями вверх, поэтому неравенство больше нуля будет выполняться вне корней.
• \[ x < 3 \quad \text{или} \quad x > 5 \]
• Это соответствует решению 1) (-∞; 3) \(\cup\) (5; +∞).
• Г) \[ \frac{x-5}{(x-3)^2} < 0 \]
• Знаменатель \((x-3)^2\) всегда положителен (кроме \(x=3\)).
• Значит, для выполнения неравенства числитель должен быть меньше нуля:
• \[ x-5 < 0 \]
• \[ x < 5 \]
• Также нужно учесть, что знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(x \neq 3\).
• Объединяя условия \(x < 5\) и \(x \neq 3\), получаем интервалы \((-\infty; 3) \cup (3; 5)\).
• Это соответствует решению 2) (-∞; 3) \(\cup\) (3; 5).

Ответ: