25.7. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Привет! Давай разберемся с этими неравенствами. Это как квест: каждому примеру нужно найти свой правильный ответ.

Разбор неравенств:

• А) 3^-x < 1/3

Это показательное неравенство. Вспоминаем: 1/3 — это 3^-1. Значит, 3^-x < 3^-1. Так как основание степени (3) больше 1, показатель степени (-x) должен быть больше (-1). Получаем -x > -1. Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства: x < 1. Это соответствует решению 4) (-∞; 1).

• Б) (x-1)(x-2) < 0

Это квадратное неравенство. Корни уравнения (x-1)(x-2) = 0 — это x=1 и x=2. Парабола y = (x-1)(x-2) направлена ветвями вверх. Значит, выражение отрицательное (меньше нуля) между корнями. Получаем 1 < x < 2. Это интервал 2) (1; 2).

• В) log₂x > 1

Логарифмическое неравенство. Чтобы избавиться от логарифма, вспоминаем, что 1 = log₂2. Значит, log₂x > log₂2. Основание логарифма (2) больше 1, поэтому показатель степени x должен быть больше 2. Получаем x > 2. Это интервал 3) (2; +∞).

• Г) (x-2)² / (x-1) < 0

Дробно-рациональное неравенство. Обрати внимание: (x-2)² всегда больше или равно нулю. Чтобы вся дробь была отрицательной (< 0), числитель должен быть больше нуля (что он и так делает, кроме x=2), а знаменатель должен быть строго отрицательным (x-1 < 0). Значит, x < 1. При этом x не равен 2. Учитывая, что x < 1, условие x ≠ 2 выполняется автоматически. Получаем x < 1. Это интервал 4) (-∞; 1). Но в вариантах ответа нет такого варианта, давайте перепроверим.

Ага! Есть ошибка в моем рассуждении. (x-2)² может быть равно 0, когда x=2. В этом случае вся дробь равна 0, что не удовлетворяет условию < 0. Поэтому x=2 не входит в решение. Знаменатель x-1 не должен быть равен 0, то есть x ≠ 1. Теперь смотрим на знак дроби. Числитель (x-2)² >= 0. Для того чтобы вся дробь была < 0, знаменатель x-1 должен быть < 0, а числитель > 0. Это значит x < 1. Но если x=2, то дробь равна 0, что не подходит. Если x < 1, то (x-2)² > 0 и x-1 < 0, значит дробь < 0. Но есть одна хитрость: если x=2, то (x-2)^2=0, а значит дробь равна 0, что не удовлетворяет условию <0. Поэтому x=2 не входит в решение. Итак, x<1. А это интервал 4.

Перепроверим еще раз. Для того чтобы дробь $$\frac{(x-2)^2}{x-1}$$ была меньше нуля, нам нужно, чтобы числитель и знаменатель имели разные знаки. Числитель $$(x-2)^2$$ всегда неотрицателен ($$\ge 0$$). Он равен нулю только при $$x=2$$. Если $$x=2$$, то вся дробь равна нулю, что не удовлетворяет условию $$<0$$. Значит, $$x \neq 2$$. Для всех остальных значений $$x$$, $$(x-2)^2 > 0$$. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель $$x-1$$ должен быть отрицательным. То есть $$x-1 < 0$$, что означает $$x < 1$$. Таким образом, решением неравенства является интервал $$x < 1$$. Это соответствует решению 4) (-∞; 1).

Стоп! Похоже, я что-то упустил. Давайте попробуем методом интервалов, учитывая, что $$x=2$$ не подходит.

Корни: $$x=2$$ (числитель), $$x=1$$ (знаменатель). Числовая ось:

---(1)---(2)---

Тестируем интервалы:

• x < 1 (например, x=0): (0-2)²/(0-1) = 4/(-1) = -4 < 0. Подходит!
• 1 < x < 2 (например, x=1.5): (1.5-2)²/(1.5-1) = (-0.5)²/0.5 = 0.25/0.5 = 0.5 > 0. Не подходит.
• x > 2 (например, x=3): (3-2)²/(3-1) = 1²/2 = 1/2 > 0. Не подходит.

Итак, решение x < 1. Это соответствует интервалу 4) (-∞; 1).

Сопоставляем:

• А) соответствует 4)
• Б) соответствует 2)
• В) соответствует 3)
• Г) соответствует 4)

У нас получились два совпадения с решением 4. Перепроверим условие Г. Похоже, я ошибся в самом начале. Если $$x=2$$, то числитель равен 0, и дробь равна 0. А нам нужно строго меньше 0. Значит, $$x \neq 2$$. Если $$x < 1$$, то $$(x-2)^2 > 0$$ и $$x-1 < 0$$, значит дробь $$<0$$. Это подходит. Таким образом, решением неравенства является $$x < 1$$. Это 4) (-∞; 1).

Давайте еще раз внимательно посмотрим на все варианты. Возможно, в задании есть опечатка или я не вижу очевидного.

Еще раз внимательно: Г) $$\frac{(x-2)^2}{x-1} < 0$$. Числитель $$(x-2)^2$$ всегда $$\ge 0$$. Он равен 0 при $$x=2$$. Знаменатель $$x-1$$. Для того, чтобы дробь была $$<0$$, нужно, чтобы числитель и знаменатель имели разные знаки. Так как числитель $$\ge 0$$, то единственный вариант - это когда числитель $$>0$$ и знаменатель $$<0$$. Знаменатель $$x-1 < 0 \rightarrow x < 1$$. Числитель $$(x-2)^2 > 0$$ при $$x \neq 2$$. Поскольку $$x < 1$$, то $$x$$ точно не равно 2. Значит, решением является $$x < 1$$, т.е. 4) (-∞; 1).

Возможно, есть ошибка в задании, так как у нас совпали А и Г. Если бы Г было $$\frac{(x-2)}{x-1} < 0$$, тогда решение было бы $$(1; 2)$$, что соответствует Б. Или если бы было $$(x-2)^2 / (x-1) > 0$$, то решением было бы $$(1; 2) igcup (2; +\infty)$$, что не совпадает ни с одним вариантом.

Давайте предположим, что в задании есть опечатка и Г) на самом деле другое. Но если исходить из того, что есть, то решения А и Г совпадают.

Давайте сделаем так: предположим, что для Г) есть другое решение. Может быть, я не учёл какие-то особые случаи. Вдруг $$(x-2)^2$$ как-то влияет на знак? Нет, квадрат всегда неотрицателен.

Ладно, вернемся к заданию. Если бы ответом Г было что-то другое, что бы это могло быть? Скорее всего, где-то в расчетах ошибка. Пересчитаем А: 3^-x < 3^-1 -> -x < -1 -> x > 1. Ой! Я ошибся в знаке. -x > -1 -> x < 1. Да, А это 4. Теперь Б: (x-1)(x-2) < 0. Корни 1 и 2. Парабола вверх. Между корнями < 0. Значит 1 < x < 2. Это 2. Теперь В: log₂x > 1 -> x > 2¹ -> x > 2. Это 3. Теперь Г: (x-2)² / (x-1) < 0. Числитель >= 0. Знаменатель < 0. Значит x < 1. Это 4.

Снова А=4, Г=4. Это значит, что либо в задании ошибка, либо я что-то упускаю. Давайте посмотрим на другие варианты.

Может, я неправильно решил Б? (x-1)(x-2)<0. Если x=0, (-1)(-2)=2>0. Если x=1.5, (0.5)(-0.5)=-0.25<0. Если x=3, (2)(1)=2>0. Значит, 1 < x < 2. Это 2. Верно.

Может, я неправильно решил В? log₂x > 1. Область определения: x > 0. Если x=4, log₂4 = 2 > 1. Если x=1, log₂1 = 0 < 1. Значит, x > 2. Это 3. Верно.

Теперь Г. (x-2)² / (x-1) < 0. Числитель всегда >=0. Знаменатель < 0. Значит x-1 < 0, т.е. x < 1. И при этом x не должно быть 2. Если x < 1, то x не равно 2. Значит, x < 1. Это 4.

Все еще А=4, Г=4. Очень похоже на ошибку в задании. Но если предположить, что один из ответов 4 - это неверное решение, то какое же верное? Вариант 1) (1; +∞). Не подходит ни для одного.

Давайте предположим, что Г) это на самом деле что-то другое, чтобы получить уникальные ответы. Например, если бы Г) было $$(x-2)(x-1)<0$$, то решением было бы $$(1; 2)$$, что совпало бы с Б. Если бы Г) было $$(x-2)^2 / (x-1) > 0$$, то решением было бы $$(1; 2) igcup (2; +\infty)$$.

Я буду исходить из того, что в задании ошибка, и А=4, Г=4. Но если бы нужно было выбрать один правильный ответ для Г, то это 4.

А теперь финальный расклад, как если бы задача была без ошибок:

• А) 3^-x < 1/3 -> 3^-x < 3^-1 -> -x < -1 -> x > 1. Это 1) (1; +∞). (Вот где я ошибся в прошлый раз!)
• Б) (x-1)(x-2) < 0 -> 1 < x < 2. Это 2) (1; 2).
• В) log₂x > 1 -> x > 2¹ -> x > 2. Это 3) (2; +∞).
• Г) (x-2)² / (x-1) < 0 -> x < 1. Это 4) (-∞; 1).

Итоговое соответствие:

А - 1

Б - 2

В - 3

Г - 4

Ответ: В таблице будет: А - 1, Б - 2, В - 3, Г - 4.