25.8. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Привет! Продолжаем разгадывать математические ребусы. Сейчас будем подбирать решения к неравенствам.

Разбираем неравенства:

• А) log₅x > 1

Это логарифмическое неравенство. Вспоминаем, что 1 = log₅5. Значит, log₅x > log₅5. Так как основание логарифма (5) больше 1, показатель степени x должен быть больше 5. То есть x > 5. Это интервал 1) (5; +∞).

• Б) 2^-x > 0,25

Это показательное неравенство. 0,25 = 1/4 = 2^-2. Значит, 2^-x > 2^-2. Основание степени (2) больше 1, поэтому показатели степеней сравниваются в том же направлении: -x > -2. Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства: x < 2. Это интервал 3) (-∞; 2).

• В) (x-2)² / (x-5) < 0

Дробно-рациональное неравенство. Числитель (x-2)² всегда неотрицателен (>= 0). Он равен 0 при x=2. Знаменатель x-5. Чтобы вся дробь была меньше нуля (< 0), числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Так как числитель >= 0, то единственный вариант: числитель > 0 и знаменатель < 0. Знаменатель x-5 < 0, значит x < 5. При этом числитель (x-2)² > 0, что означает x ≠ 2. Объединяя условия: x < 5 и x ≠ 2. Это интервалы 3) (-∞; 2) и 2) (2; 5). Вместе они образуют 4) (-∞; 2) U (2; 5).

• Г) (x-2)(x-5) < 0

Квадратное неравенство. Корни уравнения (x-2)(x-5) = 0 — это x=2 и x=5. Парабола y = (x-2)(x-5) направлена ветвями вверх. Значит, выражение отрицательное (меньше нуля) между корнями. Получаем 2 < x < 5. Это интервал 2) (2; 5).

Сопоставляем:

• А) соответствует 1)
• Б) соответствует 3)
• В) соответствует 4)
• Г) соответствует 2)

Ответ: В таблице будет: А - 1, Б - 3, В - 4, Г - 2.