25.9. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Привет, мой юный гений! Продолжаем наши математические приключения. Сейчас мы найдем соответствие между неравенствами и их решениями.

Разбираем неравенства:

• А) 2^-x+1 < 0,5

Это показательное неравенство. 0,5 = 1/2 = 2^-1. Значит, 2^-x+1 < 2^-1. Основание степени (2) больше 1, поэтому показатели сравниваются в том же направлении: -x+1 < -1. Вычитаем 1 из обеих частей: -x < -2. Умножаем на -1 и меняем знак: x > 2. Это интервал 3) (2; +∞).

• Б) (x-5)² / (x-4) < 0

Дробно-рациональное неравенство. Числитель (x-5)² всегда >= 0. Он равен 0 при x=5. Знаменатель x-4. Чтобы вся дробь была < 0, нужно, чтобы числитель и знаменатель имели разные знаки. Так как числитель >= 0, то единственный вариант: числитель > 0 и знаменатель < 0. Знаменатель x-4 < 0, значит x < 4. При этом числитель (x-5)² > 0, что означает x ≠ 5. Объединяя условия: x < 4 и x ≠ 5. Поскольку x < 4, то x точно не равно 5. Значит, решением является x < 4. Это интервал 4) (-∞; 4).

• В) (x-4)(x-2) < 0

Квадратное неравенство. Корни уравнения (x-4)(x-2) = 0 — это x=2 и x=4. Парабола y = (x-4)(x-2) направлена ветвями вверх. Значит, выражение отрицательное (меньше нуля) между корнями. Получаем 2 < x < 4. Это интервал 2) (2; 4).

• Г) log₄x > 1

Логарифмическое неравенство. Вспоминаем, что 1 = log₄4. Значит, log₄x > log₄4. Основание логарифма (4) больше 1, поэтому показатель степени x должен быть больше 4. То есть x > 4. Это интервал 1) (4; +∞).

Сопоставляем:

• А) соответствует 3)
• Б) соответствует 4)
• В) соответствует 2)
• Г) соответствует 1)

Ответ: В таблице будет: А - 3, Б - 4, В - 2, Г - 1.