25. Окружности радиусов 8 и 12 касаются внешним образом. Точки A и B принадлежат первой окружности, точки C и D — второй. При этом AC и BD — общие внешние касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов: \(8+12=20\). Расположим центры в точках \(O=(0,0)\) и \(P=(20,0)\).

Пусть радиус к точке касания верхней общей касательной образует с осью центров угол с косинусом \(c\). Радиус перпендикулярен касательной. Условие, что эта касательная касается обеих окружностей, даёт равенство проекций: \(20c+12=8\), откуда \(c=-\dfrac{1}{5}\). Для нижней касательной горизонтальная проекция радиуса такая же.

Значит, точки \(A\) и \(B\) имеют одинаковую координату \(x=8c=-\dfrac{8}{5}\), а точки \(C\) и \(D\) — координату \(x=20+12c=\dfrac{88}{5}\). Прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны, поэтому расстояние между ними равно разности этих координат:

\(\dfrac{88}{5}-\left(-\dfrac{8}{5}\right)=\dfrac{96}{5}=19.2\).

Ответ: \(\dfrac{96}{5}\) (19,2).