25. Тип 17 № 105695 Решите уравнение \( \log_2(7+6x) = \log_2(7-6x)+2 \).

Решение:

Решим уравнение \( \log_2(7+6x) = \log_2(7-6x)+2 \).

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

\[ 7+6x > 0 \implies 6x > -7 \implies x > -\frac{7}{6} \]

\[ 7-6x > 0 \implies 7 > 6x \implies x < \frac{7}{6} \]

Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( -\frac{7}{6} < x < \frac{7}{6} \).

Перепишем уравнение, представив 2 как \( \log_2 4 \):

\[ \log_2(7+6x) = \log_2(7-6x) + \log_2 4 \]

Используем свойство логарифма \( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \):

\[ \log_2(7+6x) = \log_2(4(7-6x)) \]

\[ \log_2(7+6x) = \log_2(28-24x) \]

Приравниваем выражения под логарифмом:

\[ 7+6x = 28-24x \]

Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую:

\[ 6x + 24x = 28 - 7 \]

\[ 30x = 21 \]

\[ x = \frac{21}{30} \]

Сократим дробь:

\[ x = \frac{7}{10} \]

Проверяем, входит ли \( x = \frac{7}{10} \) в ОДЗ (\( -\frac{7}{6} < x < \frac{7}{6} \)). Так как \( \frac{7}{10} < \frac{7}{6} \) и \( \frac{7}{10} > -\frac{7}{6} \), корень подходит.

Ответ: \( \frac{7}{10} \)