25. Три окружности с центрами О1, О2 и О3 и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 соответственно попарно касаются образом. Найдите угол О1О2О3.

Решение:

1. Три окружности касаются попарно. Обозначим центры окружностей как \( O_1, O_2, O_3 \) и их радиусы как \( r_1, r_2, r_3 \) соответственно.
2. По условию, \( r_1 = 2.5 \), \( r_2 = 0.5 \), \( r_3 = 4.5 \).
3. Когда две окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.
4. Расстояние между центрами \( O_1 \) и \( O_2 \): \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 2.5 + 0.5 = 3 \).
5. Расстояние между центрами \( O_2 \) и \( O_3 \): \( O_2O_3 = r_2 + r_3 = 0.5 + 4.5 = 5 \).
6. Расстояние между центрами \( O_1 \) и \( O_3 \): \( O_1O_3 = r_1 + r_3 = 2.5 + 4.5 = 7 \).
7. Рассмотрим треугольник \( \triangle O_1O_2O_3 \) со сторонами \( O_1O_2 = 3 \), \( O_2O_3 = 5 \), \( O_1O_3 = 7 \).
8. Нам нужно найти угол \( \angle O_1O_2O_3 \). Для этого воспользуемся теоремой косинусов.
9. По теореме косинусов, для угла \( \angle O_1O_2O_3 \) (обозначим его как \( \beta \)), справедливо: \( (O_1O_3)^2 = (O_1O_2)^2 + (O_2O_3)^2 - 2 \cdot O_1O_2 \cdot O_2O_3 \cdot \cos(\beta) \).
10. Подставим значения сторон: \( 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\beta) \).
11. \( 49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\beta) \).
12. \( 49 = 34 - 30 \cdot \cos(\beta) \).
13. \( 49 - 34 = -30 \cdot \cos(\beta) \).
14. \( 15 = -30 \cdot \cos(\beta) \).
15. \( \cos(\beta) = \frac{15}{-30} = -0.5 \).
16. Найдем угол \( \beta \), косинус которого равен -0.5. Это \( 120° \) (или \( \frac{2\pi}{3} \) радиан).

Ответ: 120°.