25. В окружности с центром в точке O проведены две хорды AB и CD. Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке M, лежащей вне окружности. При этом AM = 36, BM = 6, CD = 4√46. Найдите OM.

По теореме о произведении секущих:

\(MA\cdot MB=MC\cdot MD\).

Следовательно, степень точки \(M\) относительно окружности равна:

\(MA\cdot MB=36\cdot6=216\).

Пусть \(H\) — середина хорды \(AB\). Тогда \(AH=BH=15\), а поскольку радиус, проведённый к середине хорды, перпендикулярен хорде, точка \(O\) лежит на перпендикуляре к \(AB\).

Так как \(CD\perp AB\), расстояние от \(O\) до прямой \(CD\) равно \(OM\)'s компоненте вдоль \(AB\), то есть \(\dfrac{AM+BM}{2}=21\).

Половина хорды \(CD\) равна:

\(\dfrac{CD}{2}=2\sqrt{46}\).

Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, расстоянием от центра до хорды и половиной хорды, а также из степени точки получаем:

\(OM^2=21^2+400=441+400=841\).

Следовательно, \(OM=\sqrt{841}=29\).

Ответ: 29.