25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD (BC || AD, AB = CD).
• Можно вписать окружность.
• Периметр (P) = 180.
• Площадь (S) = 1620.

Найти: Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания (h₁).

Решение:

1. Свойство трапеции, в которую вписана окружность: Сумма оснований равна сумме боковых сторон.
• AD + BC = AB + CD.
• Так как AB = CD, то AD + BC = 2 * AB.
• Периметр P = AD + BC + AB + CD = (AD + BC) + (AB + CD) = 2 * (AD + BC).
• 180 = 2 * (AD + BC).
• AD + BC = 90.
• Следовательно, 2 * AB = 90, значит AB = 45.
2. Связь площади, высоты и суммы оснований:
• S = (AD + BC) / 2 * h, где h – высота трапеции.
• 1620 = 90 / 2 * h.
• 1620 = 45 * h.
• h = 1620 / 45 = 36.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания:
• Пусть CH – высота, H на AD.
• BH = (AD - BC) / 2.
• В прямоугольном треугольнике ABH: AH = (AD - BC) / 2.
• AB² = AH² + h².
• 45² = ((AD - BC) / 2)² + 36².
• 2025 = ((AD - BC) / 2)² + 1296.
• ((AD - BC) / 2)² = 2025 - 1296 = 729.
• (AD - BC) / 2 = √729 = 27.
• AD - BC = 54.
4. Найдем основания AD и BC:
• У нас система уравнений:
• AD + BC = 90
• AD - BC = 54
• Сложим уравнения: 2 * AD = 144 ě\text{ } \rightarrow ě\text{ } AD = 72.
• Вычтем уравнения: 2 * BC = 36 ě\text{ } \rightarrow ě\text{ } BC = 18.
5. Рассмотрим подобные треугольники:
• Пусть O – точка пересечения диагоналей. Треугольники BOC и DOA подобны (по двум углам: ∠BOC = ∠DOA как вертикальные, ∠OBC = ∠ODA как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD).
• Коэффициент подобия k = BC / AD = 18 / 72 = 1 / 4.
6. Расстояние от точки пересечения диагоналей до оснований:
• Пусть h₁ – расстояние от O до BC (меньшего основания), h₂ – расстояние от O до AD (большего основания).
• h₁ + h₂ = h = 36.
• Из подобия треугольников следует, что отношение высот, проведенных из вершины O к основаниям, равно коэффициенту подобия:
• h₁ / h₂ = BC / AD = 1 / 4.
• h₁ = (1/4) * h₂.
• Подставим в уравнение h₁ + h₂ = 36:
• (1/4) * h₂ + h₂ = 36.
• (5/4) * h₂ = 36.
• h₂ = 36 * (4/5) = 144 / 5 = 28.8.
• h₁ = (1/4) * h₂ = (1/4) * 28.8 = 7.2.

Ответ: 7.2