25. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Обозначим сторону равностороннего треугольника ABC через a. Тогда AB = BC = CA = a.

1. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии MN ∥ AC и MN = AC/2 = a/2.

2. Точки N и K — середины сторон BC и CA, поэтому NK ∥ BA и NK = BA/2 = a/2.

3. Точки K и M — середины сторон CA и AB, поэтому KM ∥ CB и KM = CB/2 = a/2.

Следовательно, MN = NK = KM, поэтому треугольник MNK равносторонний.