26. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырёхугольника KPCM.

Положим AB = c, тогда AC = 3c. Поскольку BM — медиана, AM = MC = 3c/2.

Так как AP — биссектриса, по теореме о биссектрисе BP:PC = AB:AC = 1:3. Следовательно, точка P делит сторону BC в отношении 1:3.

Введём координаты: A=(0,0), C=(3c,0), B=(u,v), где v>0. Тогда M=(3c/2,0), а из отношения BP:PC=1:3 получаем P=(3u/4,3v/4).

Медиана BM делит противоположную сторону пополам, а точка её пересечения с AP находится при параметре 2/3 от A к P. Поэтому K=(u/2,v/2).

Обозначим через S площадь треугольника ABC. Тогда S=3cv/2.

Площадь треугольника AKM равна (1/2)·AM·(v/2) = 3cv/8 = S/4.

Площадь треугольника APC составляет 3/4 площади ABC, поскольку PC/BC=3/4 и треугольники с основаниями на BC имеют одинаковую высоту из A. Четырёхугольник KPCM — это треугольник APC без треугольника AKM, значит его площадь равна 3S/4−S/4=S/2.

Искомое отношение: (S/4):(S/2)=1:2.

Ответ: 1:2.