25. В треугольнике ABC известно, что AB=15, AC=25, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Так как треугольник ABC прямоугольный, его гипотенуза — \(BC\), а центр описанной окружности \(O\) является серединой гипотенузы.

Введём координаты: \(A(0;0)\), \(B(15;0)\), \(C(0;25)\).

Точка \(O\) — середина отрезка \(BC\), поэтому

\(O\left(\dfrac{15}{2};\dfrac{25}{2}\right)\).

Угловой коэффициент прямой \(AO\):

\(k_{AO}=\dfrac{25/2}{15/2}=\dfrac53.\)

Так как \(BD\perp AO\), то

\(k_{BD}=-\dfrac35.\)

Пусть \(D(0;d)\). Тогда угловой коэффициент прямой \(BD\) равен \(-\dfrac d{15}\). Следовательно,

\(-\dfrac d{15}=-\dfrac35\),
\(d=9\).

Значит, \(AD=9\), а

\(CD=AC-AD=25-9=16\).

Ответ: 16.