25. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=28, AC=56, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Введём координаты: пусть \(A=(0,0)\), \(C=(56,0)\), \(B=(u,v)\). Тогда из \(AB=28\) следует \(u^2+v^2=784\). Обозначим \(O=(28,q)\): центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к AC.

Равенство расстояний от O до A и B даёт \((28-u)^2+(q-v)^2=28^2+q^2\). С учётом \(u^2+v^2=784\) получаем \(qv=28(14-u)\).

Направляющий вектор AO равен \((28,q)\), поэтому перпендикулярное ему направление можно задать вектором \((q,-28)\). Точка на прямой BD имеет вид \((u,v)+t(q,-28)\). Для пересечения с AC её вторая координата должна быть нулевой, значит, \(t=v/28\). Следовательно, абсцисса D равна \(u+qv/28=u+(14-u)=14\).

Тогда \(CD=56-14=42\).

Ответ: 42.