250. Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше её числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на \(\frac{1}{6}\). Найдите эту дробь.

Пусть числитель равен \(x\), тогда знаменатель равен \(x+6\). Исходная дробь — \(\dfrac{x}{x+6}\), а после изменения — \(\dfrac{x-2}{x+8}\).

По условию новая дробь на \(\frac{1}{6}\) меньше исходной:

\(\dfrac{x-2}{x+8}=\dfrac{x}{x+6}-\dfrac{1}{6}\).

Правая часть равна \(\dfrac{6x-(x+6)}{6(x+6)}=\dfrac{5x-6}{6(x+6)}\). Перемножим крест-накрест:

\(6(x-2)(x+6)=(x+8)(5x-6)\).

Раскроем скобки: \(6x^2+24x-72=5x^2+34x-48\), откуда \(x^2-10x-24=0\).

\((x-12)(x+2)=0\), поэтому \(x=12\) или \(x=-2\). Для обыкновенной дроби с натуральными числителем и знаменателем подходит \(x=12\); знаменатель равен \(18\).

Проверка: \(\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\), а изменённая дробь \(\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\); разность \(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\).

Ответ: \(\frac{12}{18}\).