251. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если числитель дроби увеличить в 3 раза, а знаменатель увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11, то получится дробь, обратная данной. Найдите эту дробь.

Пусть числитель равен \(x\), тогда знаменатель равен \(x+3\). После изменений получаем дробь \(\dfrac{3x}{2(x+3)-11}=\dfrac{3x}{2x-5}\). Она равна дроби, обратной исходной, то есть \(\dfrac{x+3}{x}\).

Составим уравнение: \(\dfrac{3x}{2x-5}=\dfrac{x+3}{x}\). Учитываем ограничения: \(x\ne0\), \(2x-5\ne0\).

Перемножим крест-накрест: \(3x^2=(x+3)(2x-5)\).

Раскроем скобки: \(3x^2=2x^2+x-15\), поэтому \(x^2-x+15=0\).

Дискриминант равен \(D=(-1)^2-4\cdot1\cdot15=-59\), поэтому действительных корней нет. Следовательно, при указанном условии такой дроби не существует.

Ответ: дробь с заданными свойствами не существует.