26. Найдите наибольший общий делитель двух чисел: А) 14 и 49 Б) 12 и 27 В) 32 и 125 Г) 75 и 135 Д) 144 и 300 Е) 1512 и 1764 Ж) 677 и 678 3) 5600 и 5601 И) 13932 и 17200 К)5125 и 6642 Л)13932 и 17200

Задание 26

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, можно использовать разложение на простые множители или алгоритм Евклида. Рассмотрим варианты:

• А) 14 и 49: $$14 = 2 \cdot 7$$, $$49 = 7^2$$. НОД(14, 49) = 7.


• Б) 12 и 27: $$12 = 2^2 \cdot 3$$, $$27 = 3^3$$. НОД(12, 27) = 3.


• В) 32 и 125: $$32 = 2^5$$, $$125 = 5^3$$. Числа взаимно простые. НОД(32, 125) = 1.


• Г) 75 и 135: $$75 = 3 \cdot 5^2$$, $$135 = 3^3 \cdot 5$$. НОД(75, 135) = $$3 \cdot 5 = 15$$.


• Д) 144 и 300: $$144 = 2^4 \cdot 3^2$$, $$300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$$. НОД(144, 300) = $$2^2 \cdot 3 = 12$$.


• Е) 1512 и 1764: $$1512 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7$$, $$1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2$$. НОД(1512, 1764) = $$2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$$.


• Ж) 677 и 678: 677 – простое число. НОД(677, 678) = 1.


• 3) 5600 и 5601: $$5600 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7^2$$, $$5601 = 3 \cdot 1867$$. Числа взаимно простые. НОД(5600, 5601) = 1.


• И) 13932 и 17200: $$13932 = 2^2 \cdot 3 \cdot 1161$$, $$17200 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 43$$. НОД(13932, 17200) = $$2^2 = 4$$.


• К) 5125 и 6642: $$5125 = 5^3 \cdot 41$$, $$6642 = 2 \cdot 3 \cdot 1107$$. НОД(5125, 6642) = 1.


• Л) 13932 и 17200: См. пункт И. НОД(13932, 17200) = 4.

Ответ: НОД для каждого случая приведен выше.