27. Найдите наибольший общий делитель с помощью разложень на множители: А) 12, 18 и 28 Б) 162, 288 и 270 В) 315, 175, 588 Г) 170, 187 и 1377 Д) 13, 17, 34 и 39 Е) 12, 32, 44 и 204 Ж) 171, 1425, 456 и 399

Задание 27

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, нужно разложить каждое число на простые множители и перемножить общие простые множители в наименьшей степени.

• А) 12, 18 и 28: $$12 = 2^2 \cdot 3$$, $$18 = 2 \cdot 3^2$$, $$28 = 2^2 \cdot 7$$. Общий множитель: 2. НОД(12, 18, 28) = 2.


• Б) 162, 288 и 270: $$162 = 2 \cdot 3^4$$, $$288 = 2^5 \cdot 3^2$$, $$270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$$. Общие множители: 2, $$3^2$$. НОД(162, 288, 270) = $$2 \cdot 3^2 = 18$$.


• В) 315, 175, 588: $$315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$$, $$175 = 5^2 \cdot 7$$, $$588 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2$$. Общий множитель: 7. НОД(315, 175, 588) = 7.


• Г) 170, 187 и 1377: $$170 = 2 \cdot 5 \cdot 17$$, $$187 = 11 \cdot 17$$, $$1377 = 3^3 \cdot 51$$. Общий множитель: 17. НОД(170, 187, 1377) = 17.


• Д) 13, 17, 34 и 39: $$13$$ (простое), $$17$$ (простое), $$34 = 2 \cdot 17$$, $$39 = 3 \cdot 13$$. Общих множителей нет. НОД(13, 17, 34, 39) = 1.


• Е) 12, 32, 44 и 204: $$12 = 2^2 \cdot 3$$, $$32 = 2^5$$, $$44 = 2^2 \cdot 11$$, $$204 = 2^2 \cdot 3 \cdot 17$$. Общий множитель: $$2^2$$. НОД(12, 32, 44, 204) = 4.


• Ж) 171, 1425, 456 и 399: $$171 = 3^2 \cdot 19$$, $$1425 = 3 \cdot 5^2 \cdot 19$$, $$456 = 2^3 \cdot 3 \cdot 19$$, $$399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$$. Общие множители: 3, 19. НОД(171, 1425, 456, 399) = $$3 \cdot 19 = 57$$.

Ответ: НОД для каждого случая приведен выше.