26. Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, проведённая к основанию - 15 см. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть основание равнобедренного треугольника равно \( a \), а боковые стороны — \( b \). Периметр треугольника равен \( P = a + 2b \).

Высота \( h = 15 \) см, проведённая к основанию, делит его пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора:

\( b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \)

У нас есть два уравнения:

1. \( a + 2b = 90 \)
2. \( b^2 = 15^2 + (\frac{a}{2})^2 \)

Из первого уравнения выразим \( a \): \( a = 90 - 2b \).

Подставим во второе уравнение:

\( b^2 = 225 + (\frac{90 - 2b}{2})^2 \)

\( b^2 = 225 + (45 - b)^2 \)

\( b^2 = 225 + 45^2 - 2 \cdot 45 \cdot b + b^2 \)

\( b^2 = 225 + 2025 - 90b + b^2 \)

\( 0 = 2250 - 90b \)

\( 90b = 2250 \)

\( b = \frac{2250}{90} = 25 \) см.

Теперь найдём основание \( a \):

\( a = 90 - 2b = 90 - 2 \cdot 25 = 90 - 50 = 40 \) см.

Проверим, что высота 15 см соответствует этому основанию и боковой стороне 25 см:

\( 25^2 = 15^2 + (\frac{40}{2})^2 \)

\( 625 = 225 + 20^2 \)

\( 625 = 225 + 400 \)

\( 625 = 625 \)

Всё верно.

Ответ: стороны треугольника равны 25 см, 25 см и 40 см.