27. Сократите дробь: $$\frac{7m^2 + 7m + 7}{m^3 - 1}$$

Решение:

Знаменатель дроби \( m^3 - 1 \) является разностью кубов, которую можно разложить по формуле \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \). В данном случае \( a = m \) и \( b = 1 \).

\( m^3 - 1 = (m - 1)(m^2 + m + 1) \)

Числитель дроби \( 7m^2 + 7m + 7 \) можно представить как \( 7(m^2 + m + 1) \).

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$$\frac{7m^2 + 7m + 7}{m^3 - 1} = \frac{7(m^2 + m + 1)}{(m - 1)(m^2 + m + 1)}$$

Сократим общий множитель \( m^2 + m + 1 \) (при условии, что \( m^2 + m + 1 \) ≠ 0, что верно для всех действительных \( m \), так как дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \) и ветви параболы \( y = m^2 + m + 1 \) направлены вверх).

$$\frac{7}{m - 1}$$

Ответ: $$\frac{7}{m - 1}$$