265. Докажите, что при любом натуральном n: а) число 16 · 28n − 1 делится на 15; б) число 16 · 28n − 3 · 32n делится на 13.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

\(16\cdot2^{8n}-1=2^{4+8n}-1=(2^4)^{2n+1}-1=16^{2n+1}-1\). Так как \(16\equiv1\pmod{15}\), получаем \(16^{2n+1}-1\equiv1-1\\equiv0\pmod{15}\). Следовательно, выражение делится на 15.
По модулю 13 имеем \(16\equiv3\), \(2^8=256\equiv9\) и \(3^2=9\). Поэтому \(16\cdot2^{8n}-3\cdot3^{2n}\equiv3\cdot9^n-3\cdot9^n\equiv0\pmod{13}\). Следовательно, выражение делится на 13.

265. Докажите, что при любом натуральном n: а) число 16 · 2<sup>8n</sup> − 1 делится на 15; б) число 16 · 2<sup>8n</sup> − 3 · 3<sup>2n</sup> делится на 13.