267 В треугольниках АВС и А1В1С1 углы А И А1 - прямые, BD и В₁D₁ - биссектрисы. Докажите, что ∆АВС = ∆ А1В1С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), \( \angle A = \angle A_1 = 90^{\circ} \), BD — биссектриса \( \angle B \), B₁D₁ — биссектриса \( \angle B_1 \). Известно, что \( \angle B = \angle B_1 \) и BD = B₁D₁.

Так как BD — биссектриса \( \angle B \), то \( \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B \).

Аналогично, B₁D₁ — биссектриса \( \angle B_1 \), то \( \angle A_1B_1D_1 = \angle D_1B_1C_1 = \frac{1}{2} \angle B_1 \).

Поскольку \( \angle B = \angle B_1 \), то и \( \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 \).

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁:

• \( \angle A = \angle A_1 = 90^{\circ} \) (по условию).
• \( \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 \) (доказано выше).
• BD = B₁D₁ (по условию).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу (теорема о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу), \( \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 \).

Из равенства этих треугольников следует, что AB = A₁B₁.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:

• \( \angle A = \angle A_1 = 90^{\circ} \) (по условию).
• AB = A₁B₁ (доказано выше).
• \( \angle B = \angle B_1 \) (по условию).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Что и требовалось доказать.