27. \(\left(\frac{2}{\sqrt[3]{2}}-\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt2}\right)^{-3}-\left(\frac{6+5\sqrt2}{2\sqrt2-2}-\frac{2+\sqrt2}{2-\sqrt2}\right)\).

Question

Вопрос:

27. \(\left(\frac{2}{\sqrt[3]{2}}-\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt2}\right)^{-3}-\left(\frac{6+5\sqrt2}{2\sqrt2-2}-\frac{2+\sqrt2}{2-\sqrt2}\right)\).

Accepted Answer

Во второй скобке рационализируем знаменатели:

\(\frac{6+5\sqrt2}{2\sqrt2-2}=\frac{(6+5\sqrt2)(\sqrt2+1)}{4}=4+\frac{11\sqrt2}{4}\), а \(\frac{2+\sqrt2}{2-\sqrt2}=7+4\sqrt2\).

Их разность равна \(-3-\frac{5\sqrt2}{4}\), поэтому вычитание этой скобки даёт \(3+\frac{5\sqrt2}{4}\).

В первой скобке \(\frac{2}{\sqrt[3]{2}}=2^{2/3}\), \(\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt2}=2^{1/6}\). Следовательно, выражение равно \((2^{2/3}-2^{1/6})^{-3}+3+\frac{5\sqrt2}{4}\).

Ответ: \((2^{2/3}-2^{1/6})^{-3}+3+\frac{5\sqrt2}{4}\).