27. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \(\frac{24}{25}\). Диаметр описанной около него окружности равен 50. Найдите площадь прямоугольника.

Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен его диагонали, значит диагональ прямоугольника равна 50.

Стороны прямоугольника и диагональ образуют прямоугольный треугольник. Для угла между стороной и диагональю синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, одна сторона равна \(50\cdot\frac{24}{25}=48\).

Для другого катета используем теорему Пифагора: \(\sqrt{50^2-48^2}=\sqrt{196}=14\).

Площадь прямоугольника: \(S=48\cdot14=672\).

Ответ: 672.