27. Упростите выражение: 1) (a² + b²)/(a² − b²) − b/(a + b) + b/(b − a); 2) (x + 7)/(3x + 12) − 2/x + (7x + 40)/(3x² + 12x) [конец выражения обрезан].

Разложим знаменатель первой дроби и учтём, что \(b-a=-(a-b)\):

\(\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b-a}=\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}-\dfrac{b}{a+b}-\dfrac{b}{a-b}\).

Приводим к общему знаменателю:

\(\dfrac{a^2+b^2-b(a-b)-b(a+b)}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{a-b}{a+b}\).

Ограничения исходного выражения: \(a\ne b\) и \(a\ne-b\).

Видимая часть знаменателя третьей дроби читается как \(3x^2+12x=3x(x+4)\). Приведём дроби к общему знаменателю \(3x(x+4)\):

\(\dfrac{x+7}{3(x+4)}-\dfrac{2}{x}+\dfrac{7x+40}{3x(x+4)}=\dfrac{x(x+7)-6(x+4)+(7x+40)}{3x(x+4)}\).

Упрощаем числитель: \(x^2+7x-6x-24+7x+40=x^2+8x+16=(x+4)^2\). Следовательно, \(\dfrac{(x+4)^2}{3x(x+4)}=\dfrac{x+4}{3x}\), где для исходного выражения \(x\ne0,-4\).

Правая граница изображения обрезана; результат получен по читаемому знаменателю \(3x^2+12x\).