27. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 24, tg A = √5 / 2. Найдите длину стороны АС.

Краткое пояснение:

Поскольку треугольник АВС равнобедренный (АС = BC), углы при основании равны, то есть ∠A = ∠B. Тангенс угла A нам известен, и мы можем найти другие тригонометрические функции, чтобы определить длину стороны АС.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим sin A. Используем основное тригонометрическое тождество: sin² A + cos² A = 1. Также, tg A = sin A / cos A. Из tg A = √5 / 2, пусть sin A = √5x и cos A = 2x. Тогда (√5x)² + (2x)² = 1 => 5x² + 4x² = 1 => 9x² = 1 => x = 1/3. Следовательно, sin A = √5 / 3.
2. Шаг 2: Находим длину стороны BC (которая равна AC). В равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины C на основание AB, делит основание пополам. Пусть эта высота будет CD. Тогда AD = DB = AB/2 = 24/2 = 12. В прямоугольном треугольнике ADC, sin A = CD / AC. Нам нужно найти CD.
3. Шаг 3: Находим cos A. cos A = 2x = 2/3.
4. Шаг 4: Находим высоту CD. В прямоугольном треугольнике ADC, CD = AC * sin A. Также, AD = AC * cos A.
5. Шаг 5: Вычисляем AC. Из AD = AC * cos A, получаем AC = AD / cos A = 12 / (2/3) = 12 * (3/2) = 18.

Ответ: 18