278. Пользуясь диаграммой Эйлера, докажите формулу включения-исключения для трёх множеств: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Диаграмма показывает, что объединение разбивается на непересекающиеся области: элементы только одного множества, элементы ровно двух множеств и элементы всех трёх множеств.

1. Сначала складываем |A|, |B| и |C|. Элемент, принадлежащий только одному множеству, учитывается один раз; принадлежащий ровно двум — два раза; принадлежащий всем трём — три раза.
2. Вычитаем |A ∩ B|, |A ∩ C| и |B ∩ C|. Элемент ровно из двух множеств теперь учитывается один раз, как требуется. Элемент из всех трёх множеств был учтён три раза и вычтен три раза, то есть пока учтён ноль раз.
3. Прибавляем |A ∩ B ∩ C|: каждый элемент общей части снова учитывается один раз.

Таким образом, каждый элемент объединения учитывается ровно один раз, а элементы вне объединения не учитываются.

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.