279. В классе 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями: а) «Каждый, кто учится в этом классе, посещает оба кружка»; б) «Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он ходит и на кружок по математике»; в) «Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка»; г) «Оба кружка сразу посещают менее 11 человек»?

Обозначим число учеников, посещающих оба кружка, через x. По включению-исключению число учеников хотя бы в одном кружке равно 13 + 10 − x и не может быть больше 20. Поэтому x ≥ 3. Кроме того, x ≤ 10, поскольку математический кружок посещают всего 10 человек. Значит, 3 ≤ x ≤ 10.

а) Неверно: чтобы все 20 учеников посещали оба кружка, потребовалось бы x = 20, но x ≤ 10.

б) Неверно: из условия не следует, что все 13 учеников исторического кружка посещают математический; вместе кружки могут посещать не более 10 человек.

в) Верно: оба кружка посещают как минимум 3 человека, а значит, хотя бы двое.

г) Верно: оба кружка посещают не более 10 человек, то есть менее 11.

Ответ: истинны утверждения в) и г).