278. Пользуясь диаграммой Эйлера, докажите формулу включения-исключения для трёх множеств: \(|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|\).

Рассмотрим, сколько раз учитывается каждый элемент в правой части.

• Элемент только из одного множества учитывается один раз.
• Элемент из ровно двух множеств сначала учитывается дважды в сумме \(|A|+|B|+|C|\), а затем один раз вычитается. Итого — один раз.
• Элемент из всех трёх множеств сначала учитывается трижды, затем трижды вычитается за попарные пересечения и ещё раз прибавляется за тройное пересечение: \(3-3+1=1\).

Значит, каждый элемент объединения учитывается ровно один раз, а элементы вне объединения не учитываются. Поэтому формула верна.