2792. В треугольнике ABC AC = BC = 2\(\sqrt{2}\), угол C равен 45°, Найдите высоту АН.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( AC = BC = 2\sqrt{2} \), \( \angle C = 45^{\circ} \).

Для нахождения высоты \( AH \) нам нужен \( \angle A \) или \( \angle B \) или сторона \( BH \).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

\( \angle A = \angle B = \frac{180^{\circ} - 45^{\circ}}{2} = \frac{135^{\circ}}{2} = 67,5^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AHC \). Для нахождения \( AH \) нам нужно \( \angle A \) или \( AC \) и \( \cos A \).

В прямоугольном треугольнике \( BHC \) (где \( CH \) — высота), \( \angle BCH = 45^{\circ} \), значит \( \angle B = 45^{\circ} \). Треугольник \( BHC \) — равнобедренный, \( BH = CH \).

По теореме Пифагора в \( BHC \): \( BC^2 = BH^2 + CH^2 \)

\[ (2\sqrt{2})^2 = BH^2 + BH^2 \]

\[ 8 = 2 BH^2 \]

\[ BH^2 = 4 \]

\[ BH = 2 \]

Тогда \( CH = 2 \).

Теперь рассмотрим треугольник \( AHC \).

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

\[ (2\sqrt{2})^2 = AH^2 + 2^2 \]

\[ 8 = AH^2 + 4 \]

\[ AH^2 = 4 \]

\[ AH = 2 \]

Ответ: 2