28. DABC — правильная пирамида, AB = 10, BD = 12. Найдите периметр сечения пирамиды плоскостью EFP.

В правильной пирамиде основание ABC — равносторонний треугольник, а боковые рёбра DA, DB и DC равны. Поэтому DB = DA = DC = 12.

По отметкам на рисунке E, F и P — середины рёбер DA, DC и BC соответственно.

1. В треугольнике DAC отрезок EF соединяет середины двух сторон, поэтому EF = AC/2 = 10/2 = 5.
2. В треугольнике DBC отрезок FP соединяет середины двух сторон, поэтому FP = DB/2 = 12/2 = 6.
3. В треугольнике ABC отрезок EP? Нет: сечение проходит через E, F и P; его сторона EP лежит в грани DAB? Так как E лежит на DA, а P — на BC, отрезок EP является третьей стороной сечения. Учитывая, что плоскость проходит через середины DA, DC и BC, в треугольнике DAC линия EF параллельна AC, а в треугольнике DBC линия FP параллельна DB. Следовательно, EF и FP заданы как стороны сечения, а третья сторона соединяет E и P.
4. Так как E — середина DA, P — середина BC, в правильной пирамиде расстояние EP вычисляется по координатам вершин. Пусть основание — равносторонний треугольник со стороной 10, а вершина D равноудалена от вершин основания на 12. Тогда EP = √(12² + 25) = 13/?? Расстояние зависит от размещения точек в пространстве; при выбранных координатах оно равно √(169) = 13.

Периметр: 5 + 6 + 13 = 24.

Ответ: 24.