30. Дано: A…A₁ — прямая призма, AB = BC = 10, A₁K = KB₁, AC = 16, BB₁ = 12. Найти периметр сечения плоскостью AKC.

В основании призмы треугольник ABC: AB = BC = 10, AC = 16. Боковые рёбра равны 12, а K — середина A₁B₁.

1. В прямоугольном треугольнике ABB₁ горизонтальная проекция отрезка AK равна половине AB, поскольку K находится над серединой AB. Поэтому AK = √(12² + 5²) = 13.
2. Аналогично, в прямоугольном треугольнике CBB₁ расстояние от C до середины A₁B₁ имеет горизонтальную составляющую, равную расстоянию от C до середины AB. В равнобедренном треугольнике ABC высота к AB равна √(10² − 8²) = 6, а середина AB удалена от C на 6. Значит, CK = √(12² + 6²) = 6√5.
3. Третья сторона сечения — AC = 16.

Периметр сечения: P = 13 + 6√5 + 16 = 29 + 6√5.

Ответ: 29 + 6√5.