280. Ребро куба равно a. Найдите площадь сечения, проходящего через диагональ одной грани и вершину, противоположную этой грани.

Плоскость проходит через диагональ грани и противоположную ей вершину куба, поэтому сечение — равнобедренный треугольник. Его основание равно диагонали грани: \(a\sqrt{2}\). Высота к этому основанию равна расстоянию от противоположной вершины до плоскости грани, то есть \(a\).

Площадь сечения: \(S=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot a=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: \(\frac{a^2\sqrt{2}}{2}\).