2802. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 10. Точка D взята на основании BC. Из точки D проведены прямые DE || AC и DF || AB, где E лежит на AC, а F лежит на AB.

Получился параллелограмм AEFD.

По условию, DE || AC. Так как DF || AB, то AFDE — параллелограмм.

Следовательно, AF = DE и AE = DF.

У нас есть две прямые, параллельные боковым сторонам. Пусть точка D лежит на основании BC. Проведена прямая DE || AC, где E лежит на AC. Проведена прямая DF || AB, где F лежит на AB. Получился параллелограмм AFDE.

Так как DF || AB, то треугольник FBC подобен треугольнику ABC.

Так как DE || AC, то треугольник EBC подобен треугольнику ABC.

Рассмотрим параллелограмм AFDE. Стороны параллелограмма AF и AE. Нам нужно найти периметр параллелограмма AFDE, то есть \( 2(AF + AE) \).

Из подобия треугольников, если из точки на основании провести прямые, параллельные боковым сторонам, то отрезок одной боковой стороны, отсекаемый этими прямыми, равен сумме отрезков, на которые разбивается другая боковая сторона.

Пусть точка D на основании BC. Проведены DE || AC (E на AC) и DF || AB (F на AB). Получен параллелограмм AFDE.

Тогда AF = DE и AE = DF.

Рассмотрим подобие треугольников: \( \triangle BDF \sim \triangle BCA \) и \( \triangle CDE \sim \triangle CBA \).

Из подобия \( \triangle BDF \sim \triangle BCA \), имеем \( \frac{BF}{BA} = \frac{BD}{BC} = \frac{DF}{CA} \). Так как \( BA = CA = 10 \), то \( DF = CA \cdot \frac{BD}{BC} = 10 \cdot \frac{BD}{BC} \).

Из подобия \( \triangle CDE \sim \triangle CBA \), имеем \( \frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{DE}{BA} \). Так как \( BA = CA = 10 \), то \( DE = BA \cdot \frac{CD}{CB} = 10 \cdot \frac{CD}{BC} \).

Периметр параллелограмма AFDE равен \( 2(AF + AE) \).

Важно понять, что сумма отрезков боковой стороны, на которые разбивается точка пересечения, равна всей боковой стороне. То есть, \( AF + FB = AB \) и \( AE + EC = AC \).

В параллелограмме AFDE, AF = DE и AE = DF.

Сумма боковых сторон треугольника, на которые разбиты параллельными прямыми, равна боковой стороне треугольника. То есть, \( AF + AE = AB \).

Следовательно, периметр параллелограмма \( P = 2(AF + AE) = 2(AB) \).

Периметр параллелограмма равен \( 2 \times 10 = 20 \).

Ответ: 20.