2803. Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна \(\sqrt{3}\), а острый угол равен 60°.

Решение:

Ромб можно разделить диагоналями на четыре равных прямоугольных треугольника. Большая диагональ ромба лежит напротив тупого угла, а меньшая — напротив острого. Острый угол ромба равен 60°, следовательно, тупой угол равен \( 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Рассмотрим один из треугольников, на которые диагонали делят ромб. Сторона ромба является гипотенузой этого треугольника, а половины диагоналей — катетами. Острый угол ромба (60°) делится пополам диагональю, поэтому в прямоугольном треугольнике один из острых углов будет \( 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60°, 90°:

• Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Катет, лежащий напротив угла в 60°, равен половине гипотенузы, умноженной на \( \sqrt{3} \).

В нашем случае гипотенуза равна стороне ромба, \( a = \sqrt{3} \).

Меньшая диагональ \( d_1 \) и большая диагональ \( d_2 \).

Половина меньшей диагонали \( d_1/2 \) лежит напротив угла 30°, поэтому:

\[ \frac{d_1}{2} = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ d_1 = \sqrt{3} \]

Половина большей диагонали \( d_2/2 \) лежит напротив угла 60°, поэтому:

\[ \frac{d_2}{2} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} \]\[ d_2 = 3 \]

Ответ: 3