2805. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — равнобедренная трапеция, где \( AD \) — большее основание, \( BC \) — меньшее основание. Из вершины \( C \) (тупой угол) опущен перпендикуляр \( CH \) на большее основание \( AD \). Точка \( H \) делит \( AD \) на два отрезка: \( AH \) и \( HD \).

По условию, длины частей равны 10 и 4. Поскольку \( AD \) — большее основание, то \( HD = 4 \) (это часть, прилежащая к вершине \( C \) с тупым углом, из которой опущен перпендикуляр).

В равнобедренной трапеции из вершины тупого угла на большее основание опускается перпендикуляр, который отсекает отрезок, равный полуразности оснований. То есть, \( AH = ½ (|AD| - |BC|) \). Однако, в данном случае, перпендикуляр опущен из вершины тупого угла на большее основание. Если мы опустим перпендикуляры из обеих вершин тупых углов на большее основание, то отсекаемые отрезки будут равны.

Рассмотрим случай, когда перпендикуляр \( CH \) делит основание \( AD \) так, что \( AH = 10 \) и \( HD = 4 \) или \( AH = 4 \) и \( HD = 10 \).

Так как \( BC ∥ AD \), то \( BCHK \) — прямоугольник (где \( BK \) — перпендикуляр из \( B \) на \( AD \)). Следовательно, \( HK = BC \).

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые перпендикулярами от вершин тупых углов на большем основании, равны: \( AH = DK \), где \( BK ⊥ AD \) и \( CH ⊥ AD \).

Из вершины тупого угла \( C \) на большее основание \( AD \) опущен перпендикуляр \( CH \). Точка \( H \) лежит на \( AD \). Основание \( AD = AH + HD \).

В равнобедренной трапеции, если опустить перпендикуляры из вершин \( B \) и \( C \) на большее основание \( AD \), то образуются два равных прямоугольных треугольника \( ABK \) и \( CDH \), где \( K \) и \( H \) — основания перпендикуляров. В этом случае \( AH = DK \) и \( HK = BC \).

Однако, в условии сказано, что перпендикуляр из вершины тупого угла делит большее основание на части 10 и 4. Это означает, что точка \( H \) делит \( AD \) на отрезки \( AH \) и \( HD \).

У нас есть два случая: \( AH=10, HD=4 \) или \( AH=4, HD=10 \).

В равнобедренной трапеции, если опустить перпендикуляры из вершин \( B \) и \( C \) на \( AD \), то \( AH = (AD - BC)/2 \) и \( HD = (AD + BC)/2 \) (или наоборот, в зависимости от того, откуда считать).

Пусть \( AD = a \) и \( BC = b \).

Если перпендикуляр \( CH \) опущен из \( C \) на \( AD \), то \( H \) — основание перпендикуляра. \( HD \) — отрезок, который получается при вычитании \( BC \) из \( AD \) и делении пополам.

\( HD = ½ (AD - BC) \).

В данном случае, \( HD \) — это часть большего основания. Из вершины тупого угла \( C \) опущен перпендикуляр \( CH \) на \( AD \). Точка \( H \) делит \( AD \) на \( AH \) и \( HD \).

В равнобедренной трапеции, если опустить перпендикуляр из вершины тупого угла на большее основание, то этот перпендикуляр вместе с боковой стороной и частью большего основания образует прямоугольник и прямоугольный треугольник.

Рассмотрим случай, когда \( AH=4 \) и \( HD=10 \). Тогда \( BC = AH = 4 \) (если \( H \) падает между \( A \) и \( D \) и \( BC \) проектируется на \( AH \)). Это неверно.

Правильно: Из вершины тупого угла \( C \) опускаем перпендикуляр \( CH \) на \( AD \). Отрезок \( HD \) равен полуразности оснований: \( HD = ½ (|AD| - |BC|) \). Отрезок \( AH \) равен полусумме оснований: \( AH = ½ (|AD| + |BC|) \) (то есть, равен средней линии).

Итак, у нас есть два варианта: \( HD = 4 \) и \( AH = 10 \) (или наоборот).

Вариант 1: \( HD = 4 \) и \( AH = 10 \).

\( HD = ½ (AD - BC) = 4 \) → \( AD - BC = 8 \).

\( AH \) — это средняя линия, так как \( AH = ½ (AD + BC) \). То есть, средняя линия равна 10.

Средняя линия \( m = ½ (AD + BC) \).

У нас \( AD + BC = 2m = 2 · 10 = 20 \).

Система уравнений:

1. \( AD - BC = 8 \)
2. \( AD + BC = 20 \)

Сложим уравнения:

\[ 2AD = 28 \]\[ AD = 14 \]\[ BC = 20 - 14 = 6 \]

Средняя линия равна 10.

Вариант 2: \( HD = 10 \) и \( AH = 4 \).

\( HD = ½ (AD - BC) = 10 \) → \( AD - BC = 20 \).

\( AH \) — средняя линия. Средняя линия равна 4.

\( AD + BC = 2 · 4 = 8 \).

Система уравнений:

1. \( AD - BC = 20 \)
2. \( AD + BC = 8 \)

Сложим уравнения:

\[ 2AD = 28 \]\[ AD = 14 \]\[ BC = 8 - 14 = -6 \]

Длина основания не может быть отрицательной. Значит, этот вариант неверен.

Следовательно, средняя линия трапеции равна 10.

Ответ: 10