283. На рисунке 91 изображена окружность с центром в точке О. Найдите: 1) ∠BDC, если ∠BAC = 40°; 2) ∠BEC, если ∠BOC = 70°; 3) ∠CDE, если ∠CDE = 80°; 4) ∠DBA, если UDBA = 300°.

Решение:

• 1) Угол BDC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Центральный угол ∠BOC также опирается на дугу BC. Вписанный угол равен половине центрального, если они опираются на одну дугу. Однако, в данном случае, ∠BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Следовательно, ∠BDC = ∠BAC = 40°.
• 2) Угол BEC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Центральный угол ∠BOC = 70°. Поскольку вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, а центральный угол равен самой дуге, то дуга BC = 70°. Следовательно, ∠BEC = 70° / 2 = 35°.
• 3) Угол CDE. Угол ∠CDE не является стандартным вписанным углом, опирающимся на дугу, иначе условие ∠CDE = 80° было бы ответом. Предполагая, что 80° — это мера дуги CE, то вписанный угол ∠CDE, опирающийся на дугу CE, равен 80° / 2 = 40°. Если же 80° — это другой вписанный угол, опирающийся на другую дугу, то нам не хватает данных для решения. Исходя из контекста задачи, скорее всего, 80° — это мера дуги.
• 4) Угол DBA. Дуга DBA = 300°. Полная окружность = 360°. Дуга DA = 360° - 300° = 60°. Угол DBA является вписанным углом, опирающимся на дугу DA. Следовательно, ∠DBA = 60° / 2 = 30°.

Ответ:

• 1) ∠BDC = 40°
• 2) ∠BEC = 35°
• 3) ∠CDE = 40° (предполагая, что 80° — мера дуги CE)
• 4) ∠DBA = 30°