284 На диаграмме Эйлера (рис. 122) схематически показан случайный опыт S, с которым связана случайная величина Х. Около каждого элементарного события указана вероятность этого события и соответствующее значение случайной величины Х. Найдите вероятность события: a) X = 5; б) X < 3; в) 2 < X < 5; г) Х > 1; д) Х ≤ 1,8.

Решение:

По диаграмме Эйлера (рис. 122) определим вероятности для каждого значения случайной величины Х:

• P(X=5) = 0.1
• P(X=4) = 0.1
• P(X=3) = 0.1
• P(X=2) = 0.1
• P(X=1) = 0.1
• P(X=0) = 0.1
• P(X=2) = 0.3 (повторное значение, суммируем вероятности)
• P(X=5) = 0.1 (повторное значение, суммируем вероятности)
• P(X=3) = 0.1 (повторное значение, суммируем вероятности)

Суммируем вероятности для повторяющихся значений:

• P(X=2) = 0.1 + 0.3 = 0.4
• P(X=3) = 0.1 + 0.1 = 0.2
• P(X=5) = 0.1 + 0.1 = 0.2

Теперь найдём вероятности заданных событий:

а) Вероятность события X = 5:

\( P(X=5) = P(X=5 \text{ из первого блока}) + P(X=5 \text{ из второго блока}) = 0.1 + 0.1 = 0.2 \)

б) Вероятность события X < 3:

\( P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.1 + 0.1 + 0.4 = 0.6 \)

в) Вероятность события 2 < X < 5:

\( P(2 < X < 5) = P(X=3) + P(X=4) = 0.2 + 0.1 = 0.3 \)

г) Вероятность события X > 1:

\( P(X > 1) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 0.9 \)

д) Вероятность события X ≤ 1,8:

\( P(X ≤ 1.8) = P(X=0) + P(X=1) = 0.1 + 0.1 = 0.2 \)

Ответ: а) 0.2; б) 0.6; в) 0.3; г) 0.9; д) 0.2.