286. На рисунке 93 ◡AB = 74°, ∠ABC = 68°. Найдите ∠OBC.

Решение:

Нам дано, что градусная мера дуги AB равна 74°. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен самой дуге.

• 1. Находим ∠AOB:
• \[ \angle AOB = \text{Дуга } AB = 74^{\circ} \]

Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA и OB — радиусы окружности. Значит, углы при основании AB равны.

• \[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180^{\circ} - 74^{\circ}}{2} = \frac{106^{\circ}}{2} = 53^{\circ} \]

Нам дан вписанный угол ∠ABC = 68°. Этот угол опирается на дугу AC.

• 2. Находим Дугу AC:
• \[ \text{Дуга } AC = 2 \times \angle ABC = 2 \times 68^{\circ} = 136^{\circ} \]

Теперь найдем градусную меру дуги BC. Полная окружность равна 360°. Дуга BC = 360° - Дуга AB - Дуга AC (если точки A, B, C расположены в таком порядке по окружности).

• 3. Находим Дугу BC:
• \[ \text{Дуга } BC = 360^{\circ} - 74^{\circ} - 136^{\circ} = 150^{\circ} \]

Центральный угол ∠BOC равен дуге BC.

• \[ \angle BOC = \text{Дуга } BC = 150^{\circ} \]

Треугольник BOC является равнобедренным (OB = OC — радиусы).

• 4. Находим ∠OBC:
• \[ \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - \angle BOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 150^{\circ}}{2} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ} \]

Ответ: ∠OBC = 15°