29. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное рационального числа a, при a ≠ 0, и иррационального числа α есть число иррациональное.

Пусть \(a\) — рациональное число, \(a\ne0\), а \(\alpha\) — иррациональное.

1. Если \(a+\alpha\) рационально, то \(\alpha=(a+\alpha)-a\) рационально — противоречие.
2. Если \(a-\alpha\) рационально, то \(\alpha=a-(a-\alpha)\) рационально — противоречие.
3. Если \(a\alpha\) рационально, то \(\alpha=\frac{a\alpha}{a}\) рационально — противоречие.
4. Если \(\frac a\alpha\) рационально, то \(\alpha=\frac a{a/\alpha}\) рационально — противоречие. Здесь \(a/\alpha\ne0\).

Во всех случаях получили противоречие. Следовательно, сумма, разность, произведение и частное являются иррациональными числами.