29. На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили соответственно точки M и K так, что AM : MB = 3 : 1 и BK : KC = 1 : 3. Докажите, что △ABK = △CBM, если известно, что AB = 10 см, AC = 12 см, P₍ABC₎ = 3,2 дм.

Сначала найдём длины сторон треугольника ABC. Переведём периметр в сантиметры: 3,2 дм = 32 см.

BC = P₍ABC₎ − AB − AC = 32 − 10 − 12 = 10 см. Значит, AB = BC.

Из отношения AM : MB = 3 : 1 следует, что AB разделён на 4 равные части: MB = 10 : 4 = 2,5 см.

Из отношения BK : KC = 1 : 3 следует, что BC разделён на 4 равные части: BK = 10 : 4 = 2,5 см. Следовательно, AB = CB и BK = BM.

Поскольку M лежит на AB, а K — на BC, углы ABK и CBM оба равны углу ABC. Значит, ∠ABK = ∠CBM.

Итак, △ABK = △CBM по двум сторонам и углу между ними: AB = CB, BK = BM, ∠ABK = ∠CBM.

Ответ: △ABK = △CBM.