299. Доказать, что если $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, $p\ne0$, то $\log_{a^p}b=\frac1p\log_a b$. Используя эту формулу, вычислить: 1) $\log_{36}2-\frac12\log_{1/6}3$; 2) $2\log_{25}30+\log_{0,2}6$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 299. Доказать, что если $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, $p\ne0$, то $\log_{a^p}b=\frac1p\log_a b$. Используя эту формулу,…$ Фото задания

299. Доказать, что если $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, $p\ne0$, то $\log_{a^p}b=\frac1p\log_a b$. Используя эту формулу, вычислить: 1) $\log_{36}2-\frac12\log_{1/6}3$; 2) $2\log_{25}30+\log_{0,2}6$.

Accepted Answer

По формуле перехода к новому основанию:

\[\log_{a^p}b=\frac{\ln b}{\ln(a^p)}=\frac{\ln b}{p\ln a}=\frac1p\log_a b.\]

Так как $36=6^2$, а $\frac16=6^{-1}$, имеем
\[\log_{36}2=\frac12\log_6 2,\qquad \log_{1/6}3=-\log_6 3.\]
Следовательно,
\[\frac12\log_6 2-\frac12(-\log_6 3)=\frac12\log_6(2\cdot3)=\frac12.\]
Так как $25=5^2$, $0,2=\frac15$, то
\[2\log_{25}30=\log_5 30,\qquad \log_{0,2}6=-\log_5 6.\]
Тогда
\[\log_5 30-\log_5 6=\log_5 5=1.\]

Ответ: 1) $\frac12$; 2) $1$.

299. Доказать, что если \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\), \(p\ne0\), то \(\log_{a^p}b=\frac1p\log_a b\). Используя эту формулу, вычислить: 1) \(\log_{36}2-\frac12\log_{1/6}3\); 2) \(2\log_{25}30+\log_{0,2}6\).

Ответ: